O guia do cientista e do engenheiro para o processamento de sinal digital Por Steven W Smith, Ph D. Capítulo 19 Filtros recursivos. Existem três tipos de resposta de fase que um filtro pode ter fase zero fase linear e fase não linear Um exemplo de cada um destes é mostrado Na Figura 19-7 Como mostrado em a, o filtro de fase zero é caracterizado por uma resposta de impulso que é simétrica em torno da amostra zero A forma real não importa, apenas que as amostras numeradas negativas são uma imagem espelhada das amostras positivas numeradas Quando a A transformada de Fourier é tomada desta forma de onda simétrica, a fase será inteiramente zero, como mostrado em b. A desvantagem do filtro de fase zero é que ele requer o uso de índices negativos, o que pode ser inconveniente para trabalhar com o filtro de fase linear é Uma maneira de contornar a resposta de impulso em d é idêntico ao mostrado em a, exceto que foi deslocado para usar apenas amostras positivas numeradas A resposta ao impulso ainda é simétrica entre a esquerda e direita No entanto, a localização da simetria foi deslocada de zero. Esta mudança resulta na fase, e, sendo uma linha reta que representa a fase linear nominal. A inclinação dessa reta é diretamente proporcional à quantidade da mudança. A resposta de impulso não faz nada além de produzir uma mudança idêntica no sinal de saída, o filtro de fase linear é equivalente ao filtro de fase zero para a maioria das finalidades. A figura g mostra uma resposta de impulso que não é simétrica entre a esquerda e a direita. , Não é uma linha reta Em outras palavras, tem uma fase não-linear Don t confundir os termos fase linear e não linear com o conceito de linearidade do sistema discutido no Capítulo 5 Embora ambos usam a palavra linear não estão relacionados. Por que alguém se importa se A fase é linear ou não As figuras c, f, ei mostram a resposta Estas são as respostas de pulso de cada um dos três filtros A resposta de pulso não é nada mais do que uma resposta de passo positivo indo Casado por uma resposta de passo de passo negativo A resposta de pulso é usada aqui porque exibe o que acontece tanto à borda de subida e de queda em um sinal Aqui está a parte importante zero e os filtros de fase linear têm bordas esquerda e direita que parecem iguais enquanto fase não linear Os filtros têm bordas esquerda e direita que parecem diferentes Muitas aplicações não podem tolerar as bordas esquerda e direita procurando diferente Um exemplo é a exibição de um osciloscópio, onde essa diferença poderia ser mal interpretada como uma característica do sinal a ser medido Outro exemplo é no processamento de vídeo Can Você imagina ligar sua TV para encontrar a orelha esquerda de seu ator favorito procurando diferente de sua orelha direita. É fácil fazer um FIR filtro de resposta de impulso finito tem uma fase linear Isso é porque o kernel do filtro de resposta de impulso é especificada diretamente no Processo de design Fazendo o kernel do filtro ter simetria esquerda-direita é tudo o que é necessário Isso não é o caso com IIR filtros recursivos, desde th E coeficientes de recursão são o que é especificado, não a resposta ao impulso A resposta ao impulso de um filtro recursivo não é simétrica entre a esquerda e direita e, portanto, tem uma fase não linear. Os circuitos eletrônicos analógicos têm esse mesmo problema com a resposta de fase Imagine um circuito composto De resistores e capacitores sentados em sua mesa Se a entrada sempre foi zero, a saída também terá sido sempre zero Quando um impulso é aplicado à entrada, os capacitores rapidamente cobrar algum valor e, em seguida, começam a decrescer exponencialmente através dos resistores Resposta de impulso, ou seja, o sinal de saída é uma combinação dessas várias exponenciais de decaimento A resposta de impulso não pode ser simétrica, porque a saída era zero antes do impulso e a decomposição exponencial nunca atinge um valor de zero novamente. Bessel apresentado no Capítulo 3 O filtro Bessel é projetado para ter como fase linear possível, no entanto, i S muito abaixo do desempenho dos filtros digitais A capacidade de fornecer uma fase linear exata é uma clara vantagem dos filtros digitais. Felizmente, existe uma maneira simples de modificar filtros recursivos para obter uma fase zero. A Figura 19-8 mostra um exemplo de como isso Funciona O sinal de entrada a ser filtrado é mostrado em uma Figura b mostra o sinal depois de ter sido filtrado por um filtro de passa-baixa de pólo único Uma vez que este é um filtro de fase não linear, as bordas esquerda e direita não parecem iguais elas são invertidas Versões de cada um Como descrito anteriormente, este filtro recursivo é implementado começando na amostra 0 e trabalhando em direção à amostra 150, calculando cada amostra ao longo do caminho. Agora, suponha que em vez de se mover da amostra 0 para a amostra 150, começamos na amostra 150 E mover para a amostra 0 Em outras palavras, cada amostra no sinal de saída é calculada a partir de amostras de entrada e saída para a direita da amostra sendo trabalhada. Isso significa que a equação de recursão, Eq 19-1, é alterada para. Figur Ec mostra o resultado dessa filtragem reversa Isso é análogo a passar um sinal analógico através de um circuito eletrônico RC enquanto o tempo de execução para trás esrevinu eht pu-wercs nac lasrever emite - noituaC. Filtering no sentido inverso não produz qualquer benefício em si mesmo o filtrado O sinal ainda tem bordas esquerda e direita que não se parecem A mágica acontece quando filtragem frente e reversa são combinados Figura d resultados de filtrar o sinal na direção para a frente e, em seguida, filtrando novamente no sentido inverso Voila Isso produz um filtro recursivo de fase zero Em De fato, qualquer filtro recursivo pode ser convertido em fase zero com esta técnica de filtragem bidirecional A única penalidade para este desempenho melhorado é um fator de dois em tempo de execução e complexidade do programa. Como você encontra as respostas de impulso e freqüência do filtro geral A magnitude Da resposta de freqüência é a mesma para cada direção, enquanto as fases são opostas em sinal Quando as duas direções A magnitude torna-se quadrada enquanto a fase cancela para zero No domínio do tempo, isto corresponde a convolução da resposta de impulso original com uma versão invertida de esquerda para a direita de si própria Por exemplo, a resposta de impulso de um único pólo de baixo - Passa é uma exponencial unilateral A resposta de impulso do filtro bidirecional correspondente é uma exponencial unilateral que decai para a direita, convertida com uma exponencial unilateral que decai para a esquerda Passando pela matemática, isto acaba por ser Uma exponencial de dupla face que decai tanto para a esquerda como para a direita, com a mesma constante de decaimento que o filtro original. Algumas aplicações apenas têm uma parte do sinal no computador em um determinado momento, como sistemas que alternadamente dados de entrada e saída Numa base contínua A filtragem bidireccional pode ser utilizada nestes casos combinando-a com o método de sobreposição-adição descrito no último capítulo Quando se chega à questão de quanto tempo o impulso A resposta é, don t dizer infinito Se você fizer isso, você precisará pad cada segmento de sinal com um número infinito de zeros Lembre-se, a resposta ao impulso pode ser truncado quando ele tem decaído abaixo do round-off nível de ruído, ou seja, cerca de 15 a 20 constantes de tempo Cada segmento terá de ser preenchido com zeros na esquerda e direita para permitir a expansão durante a filtragem bidirecional. Signal Processing Digital Filters. Digital filtros são por essência amostrados sistemas Os sinais de entrada e saída são representados por amostras com Distância igual. Os filtros FIR de resposta iminente são caracterizados por uma resposta de tempo dependendo apenas de um dado número das últimas amostras do sinal de entrada. Em outros termos, uma vez que o sinal de entrada caiu para zero, a saída do filtro fará o mesmo após um Dado o número de períodos de amostragem. A saída yk é dada por uma combinação linear das últimas amostras de entrada xk i. Os coeficientes bi dão o peso para a combinação Eles também correspondem ao coe Fficients do numerador da função de transferência de filtro de domínio z. A figura a seguir mostra um filtro FIR de ordem N 1.Para filtros de fase linear, os valores de coeficientes são simétricos em torno do meio e a linha de retardo pode ser dobrada para trás em torno deste meio Ponto de modo a reduzir o número de multiplicações. A função de transferência de filtros FIR só pocesses um numerador Isso corresponde a um zero zero filter. FIR filtros normalmente exigem altos pedidos, na magnitude de várias centenas Assim, a escolha deste tipo de filtros Vai precisar de uma grande quantidade de hardware ou CPU Apesar disso, uma razão para escolher uma implementação de filtro FIR é a capacidade de atingir uma resposta de fase linear, que pode ser uma exigência em alguns casos No entanto, o designer fiter tem a possibilidade de escolher IIR Filtros com uma boa linearidade de fase na banda de passagem, tais como filtros Bessel ou para projetar um filtro allpass para corrigir a resposta de fase de um filtro padrão IIR. Moving Average Filters MA Ed It. Moving Modelos de MA médio são modelos de processo nos processos form. MA é uma representação alternativa de filtros FIR. Filtros de Ação Edit. A filtro de cálculo da média das últimas amostras N de um sinal. É a forma mais simples de um filtro FIR , Com todos os coeficientes sendo igual. A função de transferência de um filtro médio é dada por. A função de transferência de um filtro médio possui N zeros igualmente espaçados ao longo do eixo de frequência. No entanto, o zero em DC é mascarado pelo pólo do filtro. Há um lobo maior um DC que responde pelo filtro passband. Cascaded Integrator-Comb CIC Filtros Edit. A cascata integrador-comb filtro CIC é uma técnica especial para a implementação média filtros colocados em série A colocação em série da média filtros melhora o primeiro Um filtro de CIC implementa a função de transferência de N filtros médios, cada um calculando a média de amostras de RM Sua função de transferência é dada assim por. Os filtros de CIC são usados para Cimating o número de amostras de um sinal por um fator de R ou, em outros termos, a resample um sinal em uma freqüência mais baixa, jogando afastado R 1 amostras fora de R O fator M indica quanto do primeiro lobe é usado pelo O número de estágios médios do filtro, N indica o quão bem outras bandas de frequência são amortecidas, à custa de uma função de transferência menos plana em torno de DC. A estrutura do CIC permite implementar todo o sistema com apenas adicionadores e registradores, não usando multiplicadores que São gananciosos em termos de hardware. Downsampling por um fator de R permite aumentar a resolução do sinal de log 2 RR bits. Canonical filtros Edit. Canonical filtros implementar uma função de transferência de filtro com um número de elementos de atraso igual à ordem do filtro, um multiplicador Por coeficiente de numerador, um coeficiente multiplicador por denominador e uma série de aditivos Similarmente aos filtros ativos estruturas canônicas, este tipo de circuitos mostraram ser muito sensíveis aos valores dos elementos uma pequena mudança Em um coeficientes teve um grande efeito sobre a função de transferência. Aqui também, a concepção de filtros ativos tem deslocado a partir de filtros canônicos para outras estruturas, como cadeias de seções de segunda ordem ou filtros leapfrog. Chain of Second Secções Ordem Edit. A seção de segunda ordem Muitas vezes referida como biquad implementa uma função de transferência de segunda ordem A função de transferência de um filtro pode ser dividido em um produto de funções de transferência cada associado a um par de pólos e, possivelmente, um par de zeros Se a função de transferência s ordem é estranho, A seção de ordem tem que ser adicionada à cadeia Esta seção está associada ao pólo real e ao zero real se houver um. direto-forma 1. forma direta 2. forma direta 1 transposta. forma direta 2 transposta. A forma direta 2 transposta da figura a seguir é especialmente interessante em termos de hardware necessário, bem como de sinal e coeficiente quantization. Digital Leapfrog Filters Edit. Filter Estrutura Edit. Digital leapfrog filtros base no simula De filtros de saltos ativos analógicos O incentivo para esta escolha é herdar das propriedades de sensibilidade de banda passante excelente do circuito de escada original. O seguinte filtro de salto baixo todo-pólo de 4ª ordem pode ser implementado como um circuito digital substituindo os integradores analógicos Com os acumuladores. Substituir os integradores analógicos com acumuladores corresponde a simplificar a transformada Z para z 1 s T que são os dois primeiros termos da série de zexps de Taylor T Esta aproximação é boa o suficiente para filtros onde a freqüência de amostragem é muito maior do que a Sinal de largura de banda. Função de Transferência Editar. A representação de espaço de estado do filtro anterior pode ser escrita como. A partir deste conjunto de equações, pode-se escrever as matrizes A, B, C, D como. Desde esta representação, ferramentas de processamento de sinal tais como Octave ou Matlab permite traçar a resposta de freqüência do filtro s ou para examinar seus zeros e pólos. No filtro de salto digital, os valores relativos dos coeficientes definir o s Hape da função de transferência Butterworth Chebyshev, enquanto que suas amplitudes definir a freqüência de corte dividindo todos os coeficientes por um fator de dois turnos a freqüência de corte para baixo por uma oitava também um fator de dois. Um caso especial é o Buterworth filtro de 3 ª ordem que tem tempo Constantes com valores relativos de 1, 1 2 e 1 Devido a isso, este filtro pode ser implementado em hardware sem qualquer multiplicador, mas usando deslocamentos em vez disso. Filtros de AR Progressive. Aregressive. Autoregressive modelos são modelos de processo na forma. Quando un é o Saída do modelo, xn é a entrada do modelo e un - m são amostras anteriores do valor de saída do modelo. Esses filtros são chamados de auto - regressivos porque os valores de saída são calculados com base em regressões dos valores de saída anteriores. Os processos AR podem ser representados por um Filtro de todos os pólos. Filtros de ARMA Edit. Autoregressive MOVIMENTAÇÃO-média ARMA filtros são combinações de AR e MA filtros A saída do filtro é dada como uma combinação linear de ambos os Ponderada de entrada e amostras de saída ponderada. ARMA processos podem ser considerados como um filtro IIR digital, com ambos os pólos e zeros. AR filtros são preferidos em muitos casos, porque eles podem ser analisados usando o Yule-Walker equações MA e ARMA processos, por outro Podem ser analisados por equações não-lineares complicadas que são difíceis de estudar e modelar. Se temos um processo AR com coeficientes de ponta-aa um vetor de a, an-1 uma entrada de xn e uma saída de yn podemos usar o yule - equações do walker Dizemos que x 2 é a variância do sinal de entrada Tratamos o sinal de dados de entrada como um sinal aleatório, mesmo que seja um sinal determinístico, porque não sabemos qual será o valor até recebê-lo Podemos Expressar as equações de Yule-Walker como. Quando R é a matriz de correlação cruzada da saída do processo. E r é a matriz de autocorrelação da saída do processo. Variância Edit. We pode mostrar that. We pode expressar a variação do sinal de entrada as. Or , Expandindo e substituindo em Para r 0 podemos relacionar a variância de saída do processo para a variância de entrada. FIR filtros, filtros IIR, ea equação de diferença de coeficiente constante linear. Causal Moving Average FIR Filters. We discutido sistemas em que cada amostra da saída é Uma soma ponderada de algumas das amostras da entrada. Tomemos um sistema de soma causal ponderada, onde causal significa que uma dada amostra de saída depende apenas da amostra de entrada atual e outros insumos mais cedo na seqüência Nem sistemas lineares em geral, Nem os sistemas finitos de resposta ao impulso em particular, precisam ser causais. No entanto, a causalidade é conveniente para um tipo de análise que vamos explorar em breve. Se nós simbolizamos as entradas como valores de um vetor xe as saídas como valores correspondentes de um vetor Y, então tal sistema pode ser escrito como. qual os valores de b são pesos aplicados às amostras de entrada atuais e anteriores para obter a amostra de saída atual. Podemos pensar na expressão como uma equação, com o sinal de igual Ou seja, como uma instrução processual, com a significação de signo igual. Vamos escrever a expressão para cada amostra de saída como um loop MATLAB de instruções de atribuição, onde x é um vetor N-comprimento de amostras de entrada, e b é um M - length vetor de pesos Para tratar o caso especial no início, vamos incorporar x em um vetor mais longo xhat cujas primeiras M-1 amostras são zero. Vamos escrever a soma ponderada para cada yn como um produto interno e Vai fazer algumas manipulações das entradas como inverter b para este fim. Este tipo de sistema é muitas vezes chamado de um filtro de média móvel, por razões óbvias. De nossas discussões anteriores, deve ser óbvio que tal sistema é linear e shift-invariante Naturalmente, seria muito mais rápido usar a convolução convolução MATLAB conv em vez de nossa mafilt. Em vez de considerar as primeiras M-1 amostras da entrada a ser zero, poderíamos considerá-los a ser a mesma M-1 Amostras É o mesmo que tratar a entrada como Na determinação da resposta de impulso de um sistema, geralmente não há diferença entre estes dois, uma vez que todas as amostras não-iniciais da entrada são zero. Uma vez que um sistema deste tipo é linear e invariante ao deslocamento, sabemos que o seu efeito sobre qualquer sinusóide será apenas a escala e deslocá-lo Aqui, é importante que usamos a versão circular. A versão circulares-convoluta é deslocada e escalada um pouco , Enquanto que a versão com convolução normal é distorcida no início. Vamos ver o que a escala exacta e deslocamento é usando uma entrada fft. Both e saída têm amplitude apenas nas freqüências 1 e -1, que é como deveria ser, dado Que a entrada era uma sinusoid e o sistema era linear Os valores de saída são maiores por uma relação de 10 6251 8 1 3281 Este é o ganho do sistema. O que sobre a fase Nós só precisamos olhar onde a amplitude é diferente de zero. A entrada tem uma fase de pi 2, como re A fase de saída é deslocada por um 1 0594 adicional com sinal oposto para a freqüência negativa, ou cerca de 1 6 de um ciclo à direita, como podemos ver no gráfico. Agora vamos tentar uma sinusoid com a mesma freqüência 1, Mas em vez da amplitude 1 e da fase pi 2, vamos tentar a amplitude 1 5 ea fase 0. Sabemos que apenas a frequência 1 e -1 terão amplitude não nula, por isso vamos apenas olhar para eles. A relação de amplitude 15 9377 12 0000 é 1 3281 - e como para a fase. it é novamente deslocado por 1 0594.Se estes exemplos são típicos, podemos prever o efeito da resposta de impulso do nosso sistema 1 2 3 4 5 em qualquer sinusoide com frequência 1 - A amplitude será aumentada por um fator de 1 3281 ea fase de freqüência positiva será deslocada por 1 0594. Poderíamos continuar a calcular o efeito deste sistema em sinusoids de outras freqüências pelos mesmos métodos Mas há uma maneira muito mais simples , E um que estabelece o ponto geral Desde circular convolução no domínio do tempo significa multiplicatio N no domínio da freqüência, from. it segue that. In outras palavras, a DFT da resposta de impulso é a relação entre a DFT da saída para a DFT da entrada. Em relação. a DFT coeficientes são números complexos Desde abs C1 c2 abs c1 abs c2 para todos os números complexos c1, c2, esta equação diz-nos que o espectro de amplitude da resposta de impulso será sempre a relação entre o espectro de amplitude da saída para a da entrada. No caso da fase Espectro, ângulo c1 c2 ângulo c1 - ângulo c2 para todos os c1, c2 com a condição de que as fases que diferem por n 2 pi são consideradas iguais Portanto, o espectro de fase da resposta ao impulso será sempre a diferença entre os espectros de fase da saída e Input com as correções de 2 pi necessárias para manter o resultado entre - pi e pi. Podemos ver os efeitos de fase mais claramente se desempacotar a representação de fase, ou seja, se adicionarmos vários múltiplos de 2 pi conforme necessário para minimizar os saltos Que são produzidos pelo peri Embora a amplitude e a fase sejam normalmente utilizadas para apresentação gráfica e mesmo tabular, uma vez que são uma forma intuitiva de pensar sobre os efeitos de um sistema sobre os vários componentes de frequência de sua entrada, os coeficientes de Fourier complexos são Mais útil algebricamente, uma vez que permitem a simples expressão da relação. A abordagem geral que acabamos de ver irá trabalhar com filtros arbitrários do tipo esboçado, em que cada amostra de saída é uma soma ponderada de um conjunto de amostras de entrada. Como mencionado anteriormente , Estes são muitas vezes chamados filtros de resposta de impulso finito, porque a resposta ao impulso é de tamanho finito, ou às vezes filtros de média móvel. Podemos determinar as características de resposta de freqüência de tal filtro da FFT de sua resposta ao impulso e também podemos projetar novos Filtros com as características desejadas por IFFT a partir de uma especificação da resposta de freqüência. Filtros IIR. Nomes para filtros FIR a menos que houvesse algum outro tipo s para distingui-los, e assim aqueles que estudaram pragmática não ficará surpreso ao saber que existe de fato um outro tipo principal de filtro linear invariante no tempo. Esses filtros são às vezes chamados de recursivos porque O valor das saídas anteriores, bem como entradas anteriores questões, embora os algoritmos são geralmente escritos usando construções iterativas Eles também são chamados Infinite Impulse Response IIR filtros, porque em geral a sua resposta a um impulso continua para sempre Eles também são chamados de filtros auto-regressivos, Porque os coeficientes podem ser pensados como o resultado de fazer a regressão linear para expressar valores de sinal em função de valores de sinal anteriores. A relação dos filtros FIR e IIR pode ser vista claramente numa equação de diferença de coeficiente constante linear, i. e.setting Uma soma ponderada de saídas igual a uma soma ponderada de entradas Isto é como a equação que damos anteriormente para a FIR causal Filtro, exceto que, além da soma ponderada de entradas, também temos uma soma ponderada de outputs. If queremos pensar nisso como um procedimento para gerar amostras de saída, precisamos reorganizar a equação para obter uma expressão para a corrente Saída de amostra y n. Adopting a convenção de que a 1 1, por exemplo, escalando outros como e bs, podemos livrar-se do 1 a 1 term. ynb 1 xnb 2 x n-1 b Nb 1 x n-nb - a 2 y N-1 - - Na 1 y n-na. Se todos os outros que não um 1 são zero, isso reduz a nosso velho amigo o filtro FIR causal. Este é o caso geral de um filtro causal LTI, e é implementado por O filtro de função MATLAB. Examinemos o caso em que os coeficientes b diferentes de b 1 são zero em vez do caso FIR, onde o a são zero. Neste caso, a amostra de saída corrente yn é calculada como uma combinação ponderada do Para obter uma idéia do que acontece com esses filtros, vamos começar com o caso onde. É, a amostra de saída atual é a soma da amostra de entrada atual e metade da amostra de saída anterior. Vamos tomar um impulso de entrada através de alguns passos de tempo, um de cada vez. Deve ser claro neste momento que podemos facilmente escrever Uma expressão para o n-ésimo valor de amostra de saída é apenas. Se MATLAB contado a partir de 0, isso seria simplesmente 5 n. Como o que estamos calculando é a resposta ao impulso do sistema, temos demonstrado pelo exemplo que a resposta ao impulso pode de fato ter infinitamente muitas amostras não-zero. Para implementar este primeiro trivial Filtro de ordem no MATLAB, poderíamos usar filtro A chamada será semelhante a this. and o resultado é. Está este negócio realmente ainda linear. We pode olhar para isso empirically. For uma abordagem mais geral, considere o valor de uma amostra de saída y N. Por substituição sucessiva, podemos escrever isto como. Isto é exatamente como nosso velho amigo, a forma de convolução de um filtro FIR, com a resposta ao impulso fornecida pela expressão 5 k eo comprimento da resposta ao impulso sendo infinito. Assim, o mesmo Os argumentos que usamos para mostrar que os filtros FIR eram lineares agora se aplicam aqui. Até agora isso pode parecer um monte de barulho por não muito. O que é toda essa linha de investigação boa para. Vamos responder esta questão em etapas, começando com um Não é um Grande surpresa que podemos calcular uma amostra exponencial por multiplicação recursiva Vamos olhar para um filtro recursivo que faz algo menos óbvio Desta vez, vamos torná-lo um filtro de segunda ordem, de modo que a chamada para filtrar será do formulário. Por favor, Defina o segundo coeficiente de saída a2 para -2 cos 2 pi 40 eo terceiro coeficiente de saída a3 para 1 e observe a resposta ao impulso. Não é muito útil como filtro, na verdade, mas gera uma onda senoidal amostrada a partir de um impulso Com três multiplicações por amostra Para entender como e por que ele faz isso, e como os filtros recursivos podem ser projetados e analisados no caso mais geral, precisamos dar um passo atrás e dar uma olhada em algumas outras propriedades de números complexos, No caminho para a compreensão da transformada z.
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